di Pier Francesco Sciuto
Inizio del viaggio
Immaginiamo di trovarci in un giardino pubblico. Si tratta di un luogo propizio per cogliere le analogie fra le leggi chimico-fisiche che governano la natura, il pensiero matematico che ne descrive e ne media il funzionamento, e gli artefatti umani che ne sono il riflesso transitorio. La nostra attenzione ricade in primo luogo su alberi, aiuole fiorite, distese erbose, per fissarsi poi di volta in volta, brevemente, su una foglia, il volo di una farfalla, una goccia di rugiada. Ognuno di questi dettagli rinvia a un universo complesso, un divenire vitale in cui l’attimo si congiunge all’eternità. Di ciò si può ragionare tramite molti linguaggi, ma tra di essi quello matematico è il solo in grado di offrire a chiunque, senza alterazioni qualitative o quantitative, lo stesso patrimonio di informazioni. Per quanto apparentemente lontana dalle cose di questo mondo, la matematica è il distillato di una serie di osservazioni, di punti di vista, di dati di fatto, che hanno riscontro nella nostra esperienza quotidiana. Quando percepiamo che vi è una regolarità e una ricorsività in ciò che ci circonda, stiamo già iniziando a ragionare, pur senza esserne coscienti, in termini matematici.
Tra i campi di osservazione più facilmente esperibili in un ambiente come un giardino, vi è senz’altro la fillotassi, le cui espressioni numeriche, come vedremo, coincidono con quelle studiate dal matematico pisano Fibonacci (Leonardo Bonacci, 1170-1242 circa). Fillotassi (dalle parole greche φύλλον, “foglia” e τάξις, “ordine, sequenza”) è la branca della botanica che si occupa dello studio e della determinazione dell’ordine con cui le foglie (così come i petali dei fiori) si distribuiscono sui fusti che le portano. Il criterio di riconoscimento chiama in causa il numero di foglie presenti, a livelli regolarmente sovrapposti, su ciascun nodo, e l’angolazione delle foglie di ciascun nodo rispetto alle foglie del nodo successivo. Contando, per ogni giro di 360° intorno al fusto, il numero di foglie esattamente perpendicolari alla prima foglia presa come riferimento, si avrà il quoziente di fillotassi. Accade così che, nell’olmo, in 360° si incontrino non più di due foglie perpendicolari, e quindi il quoziente dovrà essere fissato in 1/2. In tre giri di 360°, il pioppo presenta otto foglie perpendicolari, dunque il quoziente sarà di 3/8.
Tutti i numeri presenti nei quozienti di fillotassi lo sono anche nella successione detta “di Fibonacci”, dal nome del grande matematico medievale già menzionato. Tale successione, detta anche successione aurea, è formata da tutti i numeri interi, ciascuno dei quali è la somma dei due precedenti, così come avviene in 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, e via elencando.
Questi sono i quozienti di fillotassi di alcune piante comuni: olmo, tiglio, cedro, graminacee 1/2; faggio, nocciolo, graminacee, rovo 1/3 ; quercia, ciliegio, melo, agrifoglio, prugno, albicocco 2/5; pioppo, rosa, pero, salice 3/8; salice americano, mandorla 5/13. Similmente, contando i petali di alcune specie di fiori, si hanno questi numeri: giglio, iris 3; ranuncolo, rosa, rosa canina, speronella, aquilegia 5; delfinio 8; jacobaea vulgaris, cineraria 13; aster, rudbeckia hirta, cicoria 21; piantaggine, piretro 34; astro settembrino 55, asteracee 89. A seconda dei tipi, le margherite possono avere 13, 21 o 34 petali. Sulla testa di un girasole, il numero delle spirali risponde di frequente a questo schema: 89 spirali che si irradiano più ripide in senso orario; 55 in senso antiorario, 34 meno ripide in senso orario. Il più grande girasole noto ha 144, 89 e 55 spirali. Come si vede, si tratta di quantità e rapporti sempre contemplati nella successione di Fibonacci.
L’esistenza di costanti matematiche nel regno vegetale era già stata presa seriamente in considerazione da Teofrasto (371-287 a.C.), Plinio il Vecchio (23-79 d.C.), Leonardo da Vinci (1452-1519) e Keplero (Johannes Kepler, 1571-1630). Furono Keplero prima, Linneo (Carl Nilsson Linnaeus, 1707-1778) poi, a intuire l’esistenza di una relazione tra la fillotassi e i numeri di Fibonacci. Successivamente, i botanici Karl Friedrich Schimper (1803-1867) e Alexander Braun (1805-1877) e il cristallografo Auguste Bravais (1811-1863) riuscirono a fissare una regola generale. A sua volta, il botanico Julius von Wiesner (1838-1916) ipotizzò che la fillotassi fosse dovuta alla necessità, da parte della pianta, di ottimizzare l’assorbimento luminoso, stante il fatto che la disposizione spiraliforme era quella che meglio di ogni altra agevolava il passaggio della luce tra foglia e foglia.
Fibonacci e la sezione aurea
Fibonacci è noto per aver introdotto nella notazione matematica i numeri arabi e il numero 0, rimpiazzando così la notazione romana, graficamente molto elegante ma scomoda dal punto di vista computazionale. Egli designava il numero 0 con zephirus, il nome del vento che soffia da ponente, versione grecoromana dell’arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine sanscrito śūnya, che significa “vuoto”. Zephirus in veneziano divenne zevero, che divenne infine l’italiano zero. A Fibonacci si deve anche la scoperta della sequenza cui abbiamo già accennato, e che qui riproponiamo in versione più estesa: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 […]. In essa, come detto, ogni numero è la somma dei due numeri precedenti: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, ecc.
Un’altra interessante proprietà sta nei rapporti tra i numeri che compongono la sequenza, dove ciascun numero è prima dividendo, poi divisore. Eccoli:
2:1 = 2
3:2 = 1,5
5:3 = 1,666
8:5 = 1,6
13:8 = 1,625
21:13 = 1,615
34:21 = 1,619
55:34 = 1,617
[…]
Una divisione dopo l’altra, le oscillazioni diminuiscono finché il rapporto non diviene costante e si fissa in 1,618, un numero irrazionale di cui riportiamo qui solo i primi tre decimali. In termini matematici, si dice che il limite di questo rapporto tende a 1,618. Questo numero esprime il rapporto aureo (o sezione aurea) investigato fin dall’antichità da matematici e artisti. Oggi lo si designa comunemente con la lettera greca φ (phi), iniziale del nome del grande artista greco Fidia. L’uso di φ per indicare 1,618 fu introdotto all’inizio del XX secolo dal matematico statunitense Mark Barr (1871-1950), a partire dall’idea, diffusa anche se non sempre condivisa, che lo scultore a architetto ateniese vissuto nel V secolo a.C. avesse scientemente applicato la sezione aurea alla progettazione delle proprie opere.
Quali sono le caratteristiche che fanno di φ un numero così speciale nella storia delle scienze come in quella delle arti, quasi un oggetto di culto cui attribuire proprietà note solo agli iniziati alle leggi universali dell’armonia? Esso è l’unico numero non naturale il cui reciproco (ossia il risultato ottenuto dividendo il numero 1 per il numero in questione) e il cui quadrato (la moltiplicazione del numero in questione per se stesso) mantengono inalterata la propria parte decimale. Posto che (per maggiore approssimazione arriveremo qui a nove decimali)
φ = 1,618033989
allora
1: φ = 0,618033989
mentre
φ x φ = 2,618033989
Con queste parole, nel libro VI dei suoi Elementi, il matematico greco Euclide (IV-III secolo a.C.) definisce la sezione aurea: “Una retta è divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore”. Quindi il rapporto aureo φ (1,618) è propriamente il rapporto tra la misura del segmento totale (1,000) e la sua sezione aurea (0,618).
I presupposti matematico-geometrici della sezione aurea erano già ben noti a Pitagora (580-570 a.C. circa – 495 a.C. circa) e ai suoi seguaci. Nella loro ricca simbologia geometrica, i pitagorici tematizzarono la sezione aurea in relazione alle proprietà del pentagono, che era per eccellenza l’emblema e il segno di riconoscimento della loro comunità. Sussiste infatti rapporto aureo sia tra la diagonale e il lato del pentagono regolare, sia tra il lato del pentagono regolare e il lato della stella a cinque punte iscritta nel pentagono stesso.
La punta dell’iceberg
Il rettangolo aureo è una figura geometrica in cui il rapporto fra la lunghezza dei lati maggiori e minori corrisponde a φ. Se alla sua superficie si sottrae un quadrato di lato uguale al lato minore, la porzione rimanente è ancora un rettangolo aureo, ovviamente più piccolo. Naturalmente, l’operazione si può immaginare anche all’inverso, ipotizzando, a partire da due quadrati uguali affiancati, l’aggiunta di un quadrato di lato uguale al lato maggiore della costruzione per costruire un rettangolo più grande, via via addizionando quadrati e rattangoli. Una spirale aurea (ovvero logaritmica) si inserisce perfettamente in un rettangolo aureo e nei suoi sviluppi in addizione o in sottrazione, così come li abbiamo appena descritti.
L’esempio più noto di spirale aurea in natura è costituito dalla conchiglia del nautilus (Nautilus pompilius), una perfetta spirale logaritmica. All’interno della conchiglia, il mollusco che la abita aumenta di grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose sigillando quelle vecchie, diventate troppo piccole. Poiché è una spirale logaritmica, la forma della conchiglia non muta e l’animale può crescere mantenendo le stesse proporzioni. La spirale aurea si presenta anche in altre evenienze, come le corna del muflone e la coda dell’ippocampo.
Le proporzioni del rettangolo aureo risultano, per motivi non sempre razionalizzabili ma piuttosto di naturale empatia e di immediata corrispondenza col nostro campo visivo, particolarmente gradevoli allo sguardo. Anche per questo motivo, nella vita di tutti i giorni sono molti gli oggetti – dalle carte di credito ai documenti di identità, dai loghi di aziende ai layout di pagine web, poster e fotografie – che si rifanno alle proporzioni auree. Relazioni con i numeri di Fibonacci e la sezione aurea si riscontrano in ambito musicale, a partire dalle forme e dalle dimensioni degli strumenti. In questo caso è particolarmente evidente che la convenienza estetica non è mai separabile dalla funzionalità e dalla bontà delle prestazioni, giacché le lunghezze d’onda con cui i suoni viaggiano nell’atmosfera, rispondono anch’esse a rapporti aurei.
Una delle più antiche opere d’arte in cui la sezione aurea sia riscontrabile è la Stele di re Djet, un bassorilievo egizio conservato al Museo del Louvre, risalente al 3000 a.C. circa. Essa raffigura, dall’alto verso il basso, un falco, simbolo del dio Horus, un serpente, simbolo del faraone, e un profilo di città. Il rettangolo comprendente serpente e città, sul quale si erge il falco, si rapporta in modo aureo col rettangolo che racchiude il serpente e col quadrato che racchiude la città.
Le proporzioni del Partenone, eretto sull’Acropoli di Atene fra il 447 e il 432 a.C., rientrano a grandi linee nello schema del rettangolo aureo. Analoghi criteri si ritrovano nella statuaria ellenica di età classica e postclassica, dai due Bronzi di Riace rispettivamente databili al 460 e al 430 a.C., all’Afrodite Cnidia di Prassitele (360 a. C. circa). Nella scultura greca del V e IV secolo, la sezione aurea diventa una regola imprescindibile. Ogni parte del corpo è in relazione aurea con le altre. Ciò è particolarmente evidente nel Doriforo di Policleto (450 a.C. circa). Non è un caso, poi, che Policleto abbia teorizzato la divisione del corpo in otto parti: cinque corrispondono all’altezza da terra all’ombelico, tre alla parte superiore. I numeri 3, 5 e 8 sono presenti nella serie di Fibonacci e, come sappiamo, stanno tra loro in rapporto aureo. Il canone aureo trova applicazione anche nell’architettura della Magna Grecia: ad esempio nella realizzazione del Tempio di Atena a Paestum (500 a.C. circa). A loro volta, le proporzioni dell’architettura romana non si discostano da quelle già messe a punto in Grecia. Ne fanno fede templi, basiliche, archi di trionfo.
La ripresa rinascimentale delle misure auree trova ampio riscontro negli studi di artisti-scienziati come Piero della Francesca (1412 circa – 1492) e di matematici come Luca Pacioli (1445 circa – 1517), cui si deve il trattato De divina proportione (1497). È sull’onda di queste indagini, spazianti dall’ottica all’anatomia alla fisica meccanica, che prendono forma alcune delle schematizzazioni grafiche più celebri che il rinascimento abbia lasciato in eredità alle epoche successive. Tra di esse, spicca quella proposta da Leonardo da Vinci nell’Uomo vitruviano (1490 circa), in cui la figura umana si iscrive in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l’altezza dell‘uomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese. L’ipotetica retta passante orizzontalmente per l’ombelico divide i lati verticali del quadrato in due segmenti in rapporto aureo tra loro. L’ombelico, in quanto baricentro del corpo umano, è anche il centro del cerchio in cui si iscrive la persona umana con braccia e gambe aperte. Nell’Ultima Cena (1494-1498) la figura di Gesù è racchiusa in un rettangolo aureo, e anche nella Gioconda (1503-1506) si possono scorgere riferimenti alle misure auree. Ma già Sandro Botticelli nella Nascita di Venere (1485) e Domenico Ghirlandaio nella Nascita della Vergine (1486-1490) avevano impostato le coordinate spaziali su riconoscibili rapporti aurei.
La progettazione dello spazio bi e tridimensionale, tramite gli opportuni costrutti geometrici e grafici, è il punto di passaggio obbligato per rendersi conto di come concetti complessi, che immaginiamo propri della matematica pura, si ritrovino nelle arti figurative e nell’architettura, e per capire come essi occupino uno spazio non solo intellettuale ma anche, nel senso più ampio del termine, culturale. La geometria, intesa come tracciamento di figure piane e solide su una superficie, ingloba il pensiero scientifico-matematico ma, come nel galleggiamento di un iceberg, ne lascia affiorare solo una piccola parte, la più semplice e intuitiva. È quell’empirìa cui artisti e artigiani ricorrono per padroneggiare gli utensili di loro competenza, indispensabili per mettere in forma gli oggetti, dagli articoli utili alla vita quotidiana alle opere d’arte più esclusive.
Il resto dell’iceberg resta sommerso: non che non abbia importanza (anzi, senza di esso l’assetto di galleggiamento sarebbe compromesso), ma semplicemente agisce per forza di gravità, facendo tutt’uno con la parte emersa. È importante sottolineare ciò, perché se è vero che in ogni epoca vi sono stati artisti e artigiani particolarmente colti, vicini alle élites detentrici dei saperi più complessi, è altrettanto vero che ad essi si chiedevano abilità inventive ed esecutive forgiate nell’esperienza, nella ripetizione quotidiana dei gesti, e non altro. Nel loro ambito, la matematica era conoscenza incarnata, tecnologia pronta all’uso, proprio come il teorema di Pitagora – in realtà non ancora “di Pitagora” – nella mente e nelle mani degli agrimensori della Mezzaluna Fertile.
BIBLIOGRAFIA
• I. Adler, Solving the Riddle of Phyllotaxis: Why the Fibonacci Numbers and the Golden Ratio Occur in Plants, World Scientific Publishing, Singapore 2012.
• Ch. Boileau, La geometria segreta dei pittori, Electa, Milano 1988.
• M. Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Rizzoli, Milano 2003.
• M. Muccillo, Fibonacci, Leonardo (Leonardo Pisano), in Dizionario biografico degli Italiani, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, Roma 1997, vol XLVII.
Homepage: Confronto tra modalità di inserzione di foglie e fiori, disegno di Nadia Borgetti (N. Borgetti-D. Isocrono-DISAFA UniTo/Wikimedia).
Sotto: Stele di re Djet, 3100-2900 a.C., calcare, cm. 143 x 65 x 25 (il totale), Parigi, Louvre (photo credits Musée du Louvre/Christian Décamps).
