{"id":4457,"date":"2015-01-04T22:57:34","date_gmt":"2015-01-04T22:57:34","guid":{"rendered":"http:\/\/www.faredecorazione.it\/?p=4457"},"modified":"2023-05-08T12:20:05","modified_gmt":"2023-05-08T12:20:05","slug":"il-paradosso-aureo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/?p=4457","title":{"rendered":"Il paradosso aureo"},"content":{"rendered":"
\"image_pdf\"Scarica PDF - Download PDF<\/span><\/a><\/div>
I. Inapplicabilit\u00e0 della sezione aurea<\/h6>\n

Quello della sezione aurea \u00e8 un problema squisitamente matematico, che, nel suo continuo intersecare il campo delle arti, ha generato tutta una serie di miti ed equivoci. Nostra intenzione \u00e8 cercare di far luce su alcuni aspetti essenziali per il suo impiego nella decorazione. La tesi che cercheremo di dimostrare \u00e8, almeno in apparenza, paradossale: la sezione aurea in quanto tale non \u00e8 applicabile al campo della decorazione, nonostante il suo rapporto numerico sia realmente presente in tantissime opere. Per ricordare al lettore cosa si intenda per sezione aurea, andiamo a rileggere la classica definizione datane dal matematico greco Euclide, seguita da uno schema esemplificativo: \u201cSi pu\u00f2 dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l\u2019intera linea sta alla parte maggiore cos\u00ec come la maggiore sta alla minore\u201d.<\/p>\n

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In altre parole, AB<\/em> sta ad BC<\/em> come AC<\/em> sta ad AB<\/em>. Come scrive Mario Livio in un ottimo saggio divulgativo, al quale rinviamo il lettore per ogni ulteriore approfondimento, il valore esatto del rapporto aureo \u00abcorrisponde al numero 1,6180339887…, con infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive; un numero “interminabile” che ha incuriosito gli uomini fin dall’antichit\u00e0\u00bb. E pi\u00f9 avanti: \u00abIl fatto che la sezione aurea non si possa esprimere per mezzo di una frazione (cio\u00e8 come un “numero razionale”) significa semplicemente che \u00e8 impossibile trovare due numeri interi il cui rapporto corrisponda esattamente al rapporto delle lunghezze di AB<\/em> e BC<\/em> [\u2026]. Dal punto di vista geometrico, trovare due numeri del genere significherebbe trovare un segmento che, poniamo, sia contenuto esattamente trentun volte in AB e diciannove volte in BC. Ma per quanto cercassimo, un segmento con questa propriet\u00e0 non potremmo trovarlo. Quando, come in questo caso, due lunghezze non sono multipli interi di un’unit\u00e0 di misura comune, sono dette “incommensurabili”. La scoperta che il rapporto aureo \u00e8 un numero irrazionale fu quindi, nel contempo, la scoperta dell’incommensurabilit\u00e0\u00bb \u23291\u232a<\/span><\/strong>.<\/p>\n

Prerogativa del rapporto aureo \u00e8, in definitiva, quella di governare una progressione costante di grandezze, senza per\u00f2 ammettere alcun denominatore comune fra l’una e l’altra. L\u2019ipnotica progressione che genera rettangoli armonici e spirali complesse (dove l\u2019intera linea diventa la parte maggiore di una linea successiva e cos\u00ec via all’infinito) \u00e8 all\u2019origine del fascino della sezione aurea, e spiega come mai tanti studiosi abbiano cercato le prove di una sua applicazione nelle pi\u00f9 disparate opere d’arte, dalle piramidi egizie al Partenone. Su questo specifico punto facciamo nostra la tesi del gi\u00e0 citato Mario Livio. Secondo Livio – che compie l\u2019esperimento addirittura sul suo televisore \u23292\u232a<\/span><\/strong> – si potrebbe rintracciare un rapporto aureo, se solo lo si volesse, pressoch\u00e9 in qualunque manufatto. Ma ci\u00f2 non significa affatto che il progettista abbia coscientemente applicato la sezione aurea, tanto pi\u00f9 che, se si parla di architetture antiche, \u00e8 tutto da dimostrare che i punti scelti per le misurazioni siano corretti e non, invece, individuati ad hoc<\/em> per far tornare i conti.<\/p>\n

L\u2019uso conscio e pertinente della sezione aurea si fa strada solo con l\u2019opera di pochi artisti rinascimentali (in primis<\/em> Piero della Francesca) che avevano anche profonde cognizioni matematiche, ma che, in quanto pittori, esulano dal nostro campo di ricerca. Noi ci occupiamo di decorazione e quindi di architettura, giacch\u00e9 i due termini, fino a cento anni fa, erano sinonimi. Per inquadrare il problema dal nostro punto di vista \u00e8 necessario partire da quello che si potrebbe definire il \u201cdato naturale ineludibile\u201d. Nei cantieri antichi, infatti, le maestranze non disponevano di misuratori, livelle laser, computer o calcolatrici elettroniche, ma solo di spaghi, stecche di legno e pesi di piombo. Strumenti, questi, che non riportavano alcuna scala di misurazione incisa (il metro venne introdotto solo all\u2019inizio dell\u2019800 come unit\u00e0 di misura internazionale). Mentre, per altro verso, le unit\u00e0 di misura in uso (palmo, piede, cubito eccetera) presentavano ampi margini di oscillazione tra citt\u00e0 e citt\u00e0.<\/p>\n

In questa situazione, gli unici calcoli possibili in cantiere – dalla moltiplicazione dell\u2019unit\u00e0 alla sua suddivisione in parti definite – venivano effettuati con numeri razionali. Pi\u00f9 precisamente, i soli calcoli alla portata delle maestranze erano quelli eseguibili a mente, in maniera intuitiva, e cio\u00e8: il doppio, il triplo, il quadruplo… oppure la met\u00e0, un terzo, un quarto… Nessuno sarebbe stato in grado di eseguire operazioni con numeri irrazionali completi di virgole e decimali e, cosa pi\u00f9 importante, la strumentazione disponibile ne avrebbe comunque impedito l\u2019applicazione ai processi produttivi. Anche ammesso che l\u2019architetto fosse stato in grado di eseguire calcoli di tale complessit\u00e0, gli sarebbe poi risultato praticamente impossibile trasferirli nella prassi cantieristica. Tra lo spago del capomastro e il compasso dell\u2019architetto – usato come strumento di misura e di calcolo, cos\u00ec come avviene ancor oggi nella nautica – vi era totale reciprocit\u00e0.<\/p>\n

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Raffaello Sanzio, Scuola di Atene (particolare raffigurante Talete al lavoro col compasso), 1510, affresco, Roma, Palazzi Vaticani.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Tutto il processo era quindi sottoposto alla legge della commensurabilit\u00e0: ad ogni cosa doveva corrisponderne un’altra. Ci\u00f2 implicava, in fase progettuale, l\u2019adozione di un sottomultiplo comune, ossia di un’unit\u00e0 di misura astratta, il modulo (ad esempio, il diametro o il raggio della colonna negli ordini architettonici), la quale veniva poi traslitterata in cantiere nell\u2019unit\u00e0 di misura locale \u23293\u232a<\/span><\/strong>.<\/p>\n

Parola-chiave di tutto il processo era \u201csimmetria\u201d (in latino symmetria<\/em>, in greco \u03c3\u03c5\u03bc\u03bc\u03b5\u03c4\u03c1\u1f77\u03b1<\/em>) il cui etimo di derivazione greca, un composto di syn <\/em>(\u201ccon\u201d, \u201cinsieme\u201d) e m\u00e8tron <\/em>(\u201cmisura\u201d), significa \u201cavente la stessa misura\u201d. Per noi, moderni fruitori del sistema metrico decimale, si tratta di un’idea obsoleta, tant\u2019\u00e8 che nel linguaggio corrente il concetto di simmetria si usa pressoch\u00e9 esclusivamente in accezione matematico-geometrica, assiale. Ma nelle epoche in cui le unit\u00e0 di misura erano varie e molteplici, basilare per il funzionamento di qualunque cantiere era appunto la legge della syn-metr<\/em>\u00ed<\/em>a<\/em>, i cui requisiti di chiarezza e computabilit\u00e0 si collocavano evidentemente all’opposto rispetto a quelli della sezione aurea.<\/p>\n

Nello specifico della decorazione, poi, alla simmetria si affiancava un\u2019altra legge fondamentale: l\u2019isometria, cio\u00e8 la costanza degli angoli nella successione di figure geometriche di base impiegate nella copertura della superficie. Griglie, intrecci, tassellature, connessioni di pattern sono infatti possibili solo in condizioni di isometria.<\/p>\n

Ora: la sezione aurea, proprio in quanto numero irrazionale indicante un rapporto fra grandezze incommensurabili fra loro perch\u00e9 prive di un sottomultiplo comune, \u00e8 inapplicabile alla decorazione architettonica perch\u00e9 antitetica ai principi di simmetria e isometria necessari a governare tutto il processo che, dall\u2019ideazione e progettazione, porta poi all\u2019esecuzione e alla posa dei manufatti. Questo, almeno fino all’entrata in vigore, poco pi\u00f9 di cento anni fa, del sistema metrico decimale, sistema che con la proprie scale progressive consente il trasferimento e l\u2019applicazione anche di misure derivanti da calcoli con numeri irrazionali.<\/p>\n

II. Uso del rapporto aureo<\/h6>\n

Se simmetria ed isometria sono le leggi fondamentali, ineludibili, che hanno governato l’architettura e la decorazione storiche fino agli inizi del secolo XX, allora si capisce perch\u00e9 alla base dei loro linguaggi espressivi vi siano sempre stati il quadrato e il triangolo equilatero: figure isometriche per antonomasia, col cerchio a fare da elemento normativo e di controllo. Tuttavia, osservando le opere realizzate, si scopre che la quasi totalit\u00e0 degli spazi e delle superfici sono rettangolari. Lo sono le piante degli edifici, le porte, le finestre, le pareti in muratura, i mobili. Il rettangolo \u00e8 una figura geometrica che ha s\u00ec quattro angoli uguali, ma i suoi lati lo sono a coppie, e questa uguaglianza tra coppie vale per qualsiasi rapporto esista fra le stesse. Insomma, il rettangolo \u00e8 una figura arbitraria, ostile al governo delle succitate leggi della simmetria e dell\u2019isometria.<\/p>\n

Questo \u00e8 il punto chiave: qualora si debba sviluppare una superficie rettangolare (pianta di edificio, parete in muratura, ecc.), come la si potr\u00e0 rendere compatibile con le ferree leggi della composizione? L\u2019ipotesi di un rettangolo costruito con grandezze scelte a caso \u00e8 da scartare a priori: l’architetto deve dare precise indicazioni su come si tracci la figura sul terreno, e non pu\u00f2 certo lasciare che le maestranze procedano a loro piacimento. A sua volta, mai e poi mai il decoratore potrebbe inserire una figura arbitraria nella propria griglia, altrimenti l’intera progressione dei pattern si scompaginerebbe.<\/p>\n

Questo per quanto attiene al punto di vista operativo, ma anche il fattore estetico pesa, e non poco. Quale rettangolo conviene disegnare? Meglio lungo o corto? Se si tenta di risolvere la questione ricorrendo al modulo quadrato, sorgono immediatamente delle difficolt\u00e0. Due quadrati compongono infatti un rettangolo dalle ottime caratteristiche isometriche, ma troppo lungo. Il rettangolo ottenuto da un quadrato e mezzo \u00e8 invece troppo corto, e se si tenta di fissare dimensioni intermedie usando i quarti di quadrato, si espone la griglia ad una frammentazione poi difficilmente gestibile dal punto di vista compositivo.<\/p>\n

Da parte sua, l’architetto pu\u00f2 risolvere il dimensionamento del rettangolo affiancando l’uno all’altro moduli quadrati, ma col rischio di comporre una figura troppo monolitica e rigida. Nel caso in cui, ad esempio, egli dovesse progettare la pianta di una cattedrale, un solo rettangolo, anche se ben dimensionato, risulterebbe completamente inadeguato per contemperare la disposizione dei pilastri, lo spessore delle mura, l\u2019innesto del transetto, la chiusura absidata, e numerosi altri aspetti. Occorrer\u00e0 predisporre un sistema dinamico che consenta di tracciare una griglia generale all\u2019interno della quale operare le scelte compositive, le quali dovranno a loro volta essere tracciabili sul terreno con lo spago e l\u2019aratro trainato dai buoi.<\/p>\n

Il decoratore, a sua volta, ha di fronte spazi interni da ricoprire con tarsie governate da rigide leggi isometriche, all\u2019interno delle quali non gli \u00e8 consentito inserire rettangoli eccedenti o anomali rispetto alla griglia generale adottata. La soluzione dovr\u00e0 quindi essere tutta interna al quadrato, in quanto figura isometrica di base, e portare alla creazione di una griglia normativa.<\/p>\n

Tra le esperienze pi\u00f9 rilevanti condotte dal pioniere della psicologia sperimentale Gustav Theodor Fechner (1801-77), sono da ricordare quelle, effettuate attraverso ripetuti sondaggi, riguardanti la percezione delle forme rettangolari. Esse accertarono come il picco delle preferenze in termini di gradevolezza estetica andasse ai rettangoli aurei o, comunque, molto vicini al rapporto aureo \u23294\u232a<\/span><\/strong>. Tale orientamento da parte dei fruitori non si spiega certo col rapporto numerico, in s\u00e9 e per s\u00e9 impossibile da computare ad occhio nudo, ma piuttosto con la dimensione ottimale, \u201cempatica\u201d, della figura: n\u00e9 troppo lunga (come accade col rettangolo composto di due quadrati), n\u00e9 troppo corta (un quadrato e mezzo).<\/p>\n

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Costruzione del rettangolo aureo a partire dal quadrato.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Ora, come si costruisce un rettangolo aureo? Tracciato un quadrato, lo si divide in due rettangoli tracciando la mediana verticale, per ribaltare poi verso l\u2019esterno la diagonale del secondo rettangolo. Si otterr\u00e0 cos\u00ec un rettangolo le cui coppie di lati stanno tra loro in rapporto aureo. Ma non basta. Se si traccia una nuova linea congiungente il punto mediano inferiore del quadrato di partenza col vertice superiore del rettangolo aureo e la si ribalta verso l’esterno, ecco apparire un altro rettangolo, un po\u2019 pi\u00f9 allungato del precedente. L’operazione potr\u00e0 essere ripetuta pi\u00f9 e pi\u00f9 volte, finch\u00e9 la progressione non sar\u00e0, di fatto, pressoch\u00e9 irrilevante. Questo processo si chiama \u201cdinamizzazione del quadrato\u201d e consente, attraverso successivi ribaltamenti di diagonali, di costruire una serie di rettangoli \u201crazionali\u201d, tracciabili a terra con lo spago.<\/p>\n

Pertanto, l’architetto che ponesse un rombo al centro del suo progetto e ne dinamizzasse le diagonali nelle quattro direzioni, otterrebbe una griglia di punti (riportabile con lo spago in cantiere) sulla quale operare le proprie scelte compositive. Ovvio che all\u2019interno della griglia vi saranno rapporti aurei e grandezze esprimibili con numeri irrazionali, ma n\u00e9 all’architetto n\u00e9 alle maestranze sar\u00e0 stato richiesto un solo calcolo numerico.<\/p>\n

Per il decoratore, invece, la griglia generale isometrica \u00e8 ineludibile, perch\u00e9 egli opera gi\u00e0 all\u2019interno di uno spazio dato, ma \u00e8 altres\u00ec vero che, lavorando sulle diagonali dei poligoni regolari, perfettamente inscrivibili nella griglia, egli potr\u00e0 ottenere tutta una serie di rettangoli aurei. Il caso pi\u00f9 frequente, in particolare nell\u2019arte islamica, \u00e8 quello dei tre rettangoli aurei incrociati, determinati dalle diagonali parallele all\u2019interno di un esagono. Un esempio da manuale \u00e8 dato dall\u2019incrocio delle diagonali del pentagono da cui si genera la stella pentagonale, i cui segmenti sono in rapporto aureo. Ancora una volta, il riconoscimento del rapporto aureo attiene alla matematica, mentre chi opera nelle vesCostruzione del rettangolo aureo a partire dal quadrato.ti di decoratore pu\u00f2 far uso di rapporti aurei senza per questo dover eseguire alcun calcolo matematico.<\/p>\n

In conclusione, possiamo dire che il paradosso dell’inapplicabilit\u00e0 della sezione aurea in architettura e in decorazione – pur se nelle proporzioni interne delle opere realizzate vi \u00e8 una costante presenza di rapporti aurei – sia pi\u00f9 apparente che reale, nel senso che una spiegazione c’\u00e8, e molto semplice. Tale spiegazione risiede nell’utilizzo intuitivo che da sempre \u00e8 stato fatto delle diagonali delle figure geometriche regolari: nel loro dispiegarsi, tali diagonali danno effettivamente luogo ai rapporti aurei, anche se poi tali rapporti, nella loro fattispecie matematica, restano sconosciuti ai pi\u00f9. Pertanto, la giusta via per interpretare la presenza della sezione aurea nei manufatti architettonici e decorativi, e per ripercorrerne concretamente la gestazione, non sar\u00e0 quella, tortuosa e ridondante, dell\u2019analisi matematica, ma quella, breve ed intuitiva, della progressione geometrica.<\/p>\n

\u23291\u232a<\/span><\/strong> M. Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni<\/em>, Milano, Rizzoli, 2003, pp. 13-15.\n\n\u23292\u232a<\/span><\/strong> M. Livio, La sezione aurea<\/em>, cit., pp. 74-75.\n\n\u23293\u232a<\/span><\/strong> Per il lettore interessato al tema delle misurazioni, la fonte canonica resta A. Palladio, I quattro libri dell'architettura<\/em>, Pordenone, Edizioni Studio Tesi, 2008 (ed. or. 1570), e in particolare il libro I.\n\n\u23294\u232a<\/span><\/strong> Cfr. M. Livio, La sezione aurea<\/em>, cit., pp. 263-265.\n\nIn alto: compasso per la misurazione del rapporto aureo nella versione realizzata nel 1954 per il Premio ADI - Compasso d'Oro. Sotto: forma stellare inscritta in un pentagono.<\/em><\/pre>\n
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Il commensurabile e l’incommensurabile \u2022 di Marco Lazzarato<\/p>\n
Continua a leggereIl paradosso aureo<\/span><\/a><\/div>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":8803,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_s2mail":"yes","footnotes":"","iawp_total_views":254},"categories":[554,478],"tags":[282,75,281,280],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4457"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4457"}],"version-history":[{"count":55,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4457\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19046,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4457\/revisions\/19046"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/8803"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4457"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4457"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.faredecorazione.it\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4457"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}